Zivilrechtliche Auswirkungen der Mietbescheinigung

[Bernardino]

Hallo,
Im Raume steht die Frage der zivilrechtlichen Auswirkungen einer von einem Vermieter ausgefüllten und unterschriebenen Mietbescheinigung, die dem Jobcenter zur Beantragung der Übernahme von Wohnkosten eingereicht wurde.

Hierzu ein kurzer Fall:

Mieter und ALG-II-Empfänger A macht mit Vermieter B einen Mietvertrag über die Kaltmiete von 270,00 EU im Glauben das Jobcenter würde hierzu seine Zustimmung erteilen und die Kosten übernehmen. B füllt hierzu die erfoderliche Mietbescheinigung aus. Die Zustimmung wird versagt, weil das Jobcenter nur Kosten bzgl. Kaltmiete i.H.v. 250,00 EU übernimmt.
A und B kommen überein, dass die Kaltmiete nur 250,00 betragen soll. B füllt wiederum Mietbescheinigung aus, die neben einer Vielzahl anderer Angaben die Kaltmiete von 250,00 EU enthällt. Diese Mietbescheinigung wurde ca. 10 Tage nach Unterzeichnung des Mietvertrages ausgefüllt und weist ein entsprechend späteres Datum aus.
Die Zustimmung wird erteilt. Das Jobcenter begnügte sich mit mit der Vorlage der Mietbescheinigung und verlangte nicht die Vorlage des Mietvertrages.

Daher hat A, insbesondere aber auch in dem Glauben ein Mietvetrag über eine Wohnung bedürfe keinerlei Schriftform, darauf verzichtet einen neuen Mietvertrag mit B auszufüllen.
Er sagte sich, dass er im Streitfall ja auf die Mietbescheingung verweisen könne, die in aller Ausführlichkeit Auskunft über die Kosten der Wohnung gäbe. Zudem einer Behörde gegenüber gestellt ist, ein späteres Datum ausweist und mit der Unterschrift des B versehen sei. Unterstützend könne er ja sogar die frühere Mietbescheinigung vorlegen.

Später behauptet der B, er habe einen Anspruch auf eine Kaltmiete in Höhe von 270,00 EU und legt hierzu den Mietvertrag vor. A bestreitet dies mit Verweis auf die dem Jobcenter vorliegende Mietbescheinigung und sagt zudem, dass er die Wohnung nur zu den Kosten angemietet hätte wie sie auch von dem Jobcenter übernommen worden ist. Das übrige ihm zur Verfügung stehende Geld benötige er für seinen Lebensunterhalt. Wer hat Recht?

Wie ist die Rechtslage?